مدل سازی رگرسیونی در محیط فازی بازه ای-مقدار

‏تعمیم های ‏متفاوتی از نظریه مجموعه های فازی که توسط پروفسور زاده ‎معرفی شد، پیشنهاد شده است. نظریه مجموعه های فازی شهودی آتاناسف‏‏‏ و نظریه مجموعه های فازی بازه ای-مقدار گرزافزانی و ترکسن‏، ‎دو تعمیم نظریه مجموعه‎ های‎ فازی هستند. البته، نشان داده شده است که یک ارتباط قوی بین این دو تعمیم ‎‎وجود دارد‎. در دهه های اخیر، نظریه مجموعه های فازی بازه ای-مقدار در جهات مختلف توسعه داده شده است که در فصل اول به بعضی از آن ها اشاره خواهیم کرد. معمولاً در بسیاری از تحلیل های آماری که با مجموعه داده های واقعی مواجه هستیم‏، اندازه گیری دقیق امکانپذیر نیست و داده ها از ابهام برخوردارند. هرچه این ابهامات زیادتر می شوند ما را از نظریه مجموعه های فازی‏، بیشتر به سمت تعمیم های آن سوق می دهد. یکی از مفیدترین و پرکاربردترین تحلیل های آماری در یافتن رابطه ای بین دو یا چند متغیر برمبنای نمونه مشاهداتی از جامعه‏، تحلیل رگرسیون خطی و یا غیر خطی است. حال اگر نمونه های مشاهده شده از متغیرها‏، نادقیق باشند و یا ابهام در روابط بین متغیرها وجود داشته باشد و یا هم مشاهدات و هم روابط بین آن ها (ضرایب مدل) نادقیق باشند آن گاه می توان رگرسیون فازی را به کار برد. رگرسیون فازی‏، اولین بار توسط تاناکا و همکاران مطرح شد. آن ها مدل رگرسیون خطی با مشاهدات غیرفازی و پارامترهای فازی را مورد توجه قرار دادند. در رهیافت آن ها که به نام «رگرسیون امکانی» نیز شناخته شده است‏، برازش مدل رگرسیون خطی فازی به صورت کمینه سازی مجموع ابهام در مقدار برآورد شده مشاهدات انجام می شود‏، با توجه به این قید که میزان عضویت هر مقدار مشاهده شده خروجی (غیرفازی) در مقدار برآورد شده فازی متناظر آن‏، حداقل به میزان ‎h باشد. این مساله عموماً معادل با یک مساله برنامه ریزی خطی (و گاهی غیر خطی) می شود که با حل آن‏، مدل بهینه رگرسیون فازی به دست می آید. رهیافت دیگر در زمینه رگرسیون فازی توسط دیاموند و کلمینس ارائه شد که با استفاده از روش کمترین توان های دوم به بررسی و برازش مدل رگرسیون فازی می پردازد و می توان آن را تعمیم یافته رگرسیون کمترین توان های دوم معمولی دانست. مبنای این روش‏، استفاده از یک فاصله روی مجموعه اعداد فازی است که براساس آن‏، مجموع توان های دوم فاصله های مقادیر خروجی فازی مشاهده شده و مقادیر برآورد فازی آن ها کمینه می شود. تاکنون افراد زیادی به بررسی انواع روش های رگرسیون امکانی و رگرسیون کمترین توان های دوم‏، تحت شرایط و حالت های مختلف پرداخته اند‏ که در فصل اول‎‎‏ به آن پرداخته می شود. اما در زمینه رگرسیون در محیط فازی بازه ای-مقدار یا فازی شهودی کار چندانی صورت نگرفته است. تا جایی که محقق بررسی کرده است تنها دو مطالعه که اخیراً انجام شده‏، یکی در زمینه رگرسیون فازی شهودی و دیگری در رگرسیون فازی بازه ای-مقدار صورت گرفته است (رجوع شود به پرواتی و همکاران‏ و ‏ترکیان و همکاران). همانند روش های رگرسیون فازی‏، در محیط فازی بازه ای-مقدار نیز می توان با توجه به انواع روش های کمینه سازی‏، تحت شرایط و حالت های مختلف‏، مدل های رگرسیونی متفاوتی را مورد مطالعه و بررسی قرار داد. در این رساله به دو شیوه کمینه سازی یعنی روش کمترین توان های دوم و روش امکانی در محیط فازی بازه ای-مقدار می پردازیم. همچنین با توجه به تنوع در انتخاب مدل‏، سه مدل ‏را به ترتیب با ضرایب فازی بازه ای-مقدار‏‏، با ضرایب و خروجی فازی بازه ای-مقدار‏، با ورودی-خروجی فازی بازه ای-مقدار و نهایتاً با ضرایب و ورودی-خروجی فازی بازه ای-مقدار مورد بررسی قرار می دهیم. مناسب بودن مدل های فوق به وسیله شاخص های تعریف شده نیکویی برازش و همچنین به روش اعتبار سنجی متقابل مورد ارزیابی قرار می گیرد. محتوای فصل های این رساله به صورت زیر است: - فصل اول شامل دو بخش است. بخش اول مرور مختصری بر مجموعه ها و اعداد فازی بازه ای-مقدار است. در حد نیاز رساله‏، حساب اعداد فازی بازه ای-مقدار را مطرح می کنیم و در پایان این بخش به چند فاصله بین اعداد فازی بازه ای-مقدار خواهیم پرداخت. در بخش دوم نگاه اجمالی به تعاریف‏، مفاهیم و روش های مختلف رگرسیون فازی داریم و به طور خلاصه به چند شیوه رگرسیونی اشاره خواهیم کرد. - فصل دوم به معرفی فاصله ای جدید بین اعداد فاری بازه ای-مقدار و به اثبات متر بودن آن می پردازیم. در ادامه رگرسیون کمترین توان های دوم برای داده های خروجی فازی بازه ای-مقدار مورد بررسی قرار می دهیم. برای دستیابی به برآورد پارامترهای مدل از تعاریف و قضایای مربوط به حساب اعداد فازی بازه ای-مقدار و فاصله بین این اعداد از فصل اول‏، استفاده می کنیم. همچنین برای ارزیابی مدل‏، شاخص های نیکویی برازش را بر اساس فاصله های چن در نظر می گیریم. برای ارزیابی بیشتر مدل از شیوه اعتبار سنجی متقابل استفاده می شود. - فصل سوم به شیوه رگرسیون کمترین توان های دوم برای داده های ورودی-خروجی بازه ای-مقدار می پردازد. همانند فصل دوم‏، پس از توضیح نحوه دستیابی پارامترهای مدل‏، برای ارزیابی مدل از شاخص های نیکویی برازش و اعتبار سنجی متقابل استفاده می کنیم. - فصل چهارم به رگرسیون کمترین توان های دوم در محیط تماماً فازی بازه ای-مقدار‏‏‏، یعنی زمانی که داده های ورودی-خروجی و ضرایب مدل فازی بازه ای-مقدارند‏، اختصاص دارد. ارزیابی مدل همانند دو فصل قبل با شاخص های مشابه است. - فصل پنجم به معرفی رگرسیون امکانی در محیط فازی بازه ای-مقدار می پردازد. الگوریتمی برای یافتن سطح اعتبار در رگرسیون فازی بازه ای-مقدار امکانی پیشنهاد می شود. همانند فصل های قبل مدل مورد ارزیابی قرار می گیرد. - ضمیمه آ شامل مرور مختصری بر مجموعه ها و اعداد فازی و حساب اعداد فازی است و همچنین به فاصله بین اعداد فازی می پردازد. اعداد فازی ‎lr‎‏ به خصوص اعداد مثلثی و خواص بین آن ها از دیگر مباحث این ضمیمه است.